声音是空气密度的纵波。人能听到声音，是因为人耳能检测到空气密度的周期性变化。
理想弦模型 (弦鸣乐器) ：两端固定、均匀柔软的轻绳，振动时无摩擦且无阻尼。拨弦时，波碰到硬边界发生反射，干涉形成驻波，且边界处必为波节 (因为存在半波损)。此时设弦长 L L L λ \lambda λ
L = n ⋅ λ 2 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) L = n \cdot \frac{\lambda}{2} \quad (n=1,2,3,...) L = n ⋅ 2 λ ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) 波速 v = T / μ = λ f v = \sqrt{T / \mu} = \lambda f v = T / μ = λ f
f n = n ⋅ v 2 L = n f 1 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) f_n = n \cdot \frac{v}{2L} = nf_1 \quad (n=1,2,3,...) f n = n ⋅ 2 L v = n f 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) 其中 f 1 f_1 f 1 基本频率 (第一谐波，基频，音高) ，f 2 f_2 f 2 f 3 f_3 f 3
f 1 , f 2 , f 3 , . . . = f , 2 f , 3 f , . . . f_1, f_2, f_3, ... = f, 2f, 3f, ... f 1 , f 2 , f 3 , ... = f , 2 f , 3 f , ... 为 谐波序列 (Harmonic Series，泛音列) 。
你可以在 到底什麼是「泛音列」？ 这篇文章里聆听泛音列。
拨弦给予的初始形状不是完美的正弦波，因此可以同时存在多种频率的谐波。拨弦的位置决定各级谐音的强弱分布 ：在弦中央拨弦，会抑制偶数阶谐波，声音更显柔和空洞；在靠近琴码 (端点) 处拨弦，会激发更多的高阶谐波，声音更显明亮尖锐。
根据波激发方式的不同，弦鸣乐器可分为三类：
拨弦类：用手指或拨片赋予初始位移。吉他、古筝、竖琴。
击弦类：用琴槌敲击赋予瞬间冲击力。钢琴、扬琴。
擦弦类：用弓毛摩擦弦。小提琴、大提琴、二胡、马头琴。
钢琴弦足够大和坚硬，稍微像振动条，使泛音的音高稍微向上偏移，与理想弦模型稍有出入。这种频率拉伸被称作 铁轨背曲线 (Railsback Curve) ，弦越短越严重，因此人们更喜欢大的三角钢琴。
如果想要让钢琴听起来与自己调和，钢琴的高音实际上会被调得稍微尖锐，低音会被调得稍微平缓，使低音的泛音与中音匹配、中音的泛音与高音匹配。
理想管模型 (气鸣乐器) ：相比理想弦模型，理想管的边界取决于管端的开口与封闭。
对于开管模型 ，两端均为波腹，所有谐波齐全。
对于闭管模型 ，两端一开一闭，驻波稳定存在的必要条件变为
L = ( 2 n − 1 ) ⋅ λ 4 L = (2n-1) \cdot \frac{\lambda}{4} L = ( 2 n − 1 ) ⋅ 4 λ 只存在以下频率
f n = ( 2 n − 1 ) ⋅ v 4 L = n f 1 ( n = 1 , 3 , 5 , . . . ) f_n = (2n-1) \cdot \frac{v}{4L} = nf_1 \quad (n=1,3,5,...) f n = ( 2 n − 1 ) ⋅ 4 L v = n f 1 ( n = 1 , 3 , 5 , ... ) 也就是说，只有奇数倍谐波被保留下来 ，这是音色空洞柔润的一种原因。
需要说明的是，弦和管是两种相当常见的音乐声源，后面的许多西方音乐理论都建立在“泛音是基频的整数倍”这一前提之下。然而，有大量的乐器 (如钟、铜锣等民族乐器) 并不符合理想弦模型或理想管模型，它们并没有谐波序列，只有特定的泛音序列 。泛音结构的不同导致后面一些音乐结论 (比如纯五度总是协和的) 并不成立，我们需要具体问题具体分析。
在现代电子计算机的时代，我们可以定制泛音列 以实现特定目的，比如消除非纯律和弦的调律拍频，让泛音列与频谱动态匹配以制造出各种协和的和弦。
音乐 (Music) 是以声音为载体的艺术创作。
乐音 (Musical Tone) 是乐器产生的、频谱特征明显的声波。人类聆听乐音时，人脑往往能辨识出乐音的基本频率。除了期望发音的频率外，乐音还会混杂着泛音等其他频率成分。不同乐器频谱特性的区别造就了音色的不同。
音高 (Pitch) ：乐音的基本频率。音符 (Note) ：由 A \mathrm{A} A G \mathrm{G} G F 4 \mathrm{F}_4 F 4 B 2 \mathrm{B}_2 B 2 音乐家们使用音符系统讨论音高。
不同频率的声音组合会引起人类的主观感受。有的声音组合使人感到和谐，也有的声音组合使人感到刺耳。这种现象的生理学和脑科学成因还处在不完善的研究阶段，并且存在很大程度上的主观偏差。在此我们只将它看作一种客观存在的现象，仅在数学层面进行形式讨论。
音程 (Interval) ：频率比，可以用正实数 r = f 2 / f 1 r = f_2 / f_1 r = f 2 / f 1 r > 1 r>1 r > 1 r < 1 r<1 r < 1 一度 (Unison) 音程 1 : 1 1:1 1 : 1 八度 (Octave) 音程 2 : 1 2:1 2 : 1 音分 (Cent) 2 1200 : 1 \sqrt[1200]{2}:1 1200 2 : 1
现代钢琴上相邻的白键和黑键之间的音程是 2 12 : 1 \sqrt[12]{2}:1 12 2 : 1 100 100 100
人脑对声音频率的感知遵循对数关系，因此以某个音程作为单位来丈量其他音程的时候，应当使用对数音程，例如
3 / 2 = log 2 ( 3 / 2 ) 八度 ≈ 0.5850 八度 3 / 2 = log 2 1200 ( 3 / 2 ) 音分 ≈ 701.9550 音分 \begin{aligned}
3/2 &= \log_{2}{(3/2)}\,\text{八度} \approx 0.5850\,\text{八度} \\
3/2 &= \log_{\sqrt[1200]{2}}{(3/2)}\,\text{音分} \approx 701.9550\,\text{音分}
\end{aligned} 3/2 3/2 = log 2 ( 3/2 ) 八度 ≈ 0.5850 八度 = log 1200 2 ( 3/2 ) 音分 ≈ 701.9550 音分 3 八度 = 2 3 = 8 6 音分 = ( 2 1200 ) 6 = 2 200 \begin{aligned}
3\,\text{八度} &= 2^3 = 8 \\
6\,\text{音分} &= (\sqrt[1200]{2})^6 = \sqrt[200]{2}
\end{aligned} 3 八度 6 音分 = 2 3 = 8 = ( 1200 2 ) 6 = 200 2 两个音符 八度等价 f 1 ∼ f 2 f_1 \sim f_2 f 1 ∼ f 2 f 2 / f 1 f_2 / f_1 f 2 / f 1 2 2 2
八度在音乐中格外重要，因为人脑对八度等价有一种心理现象：两个相隔八度的音在听觉上高度相似，以至于音乐学家以相同的名字称呼它们。后面会对音程的协和程度进一步展开，在这里先给出八度的现象。
容易证明，音符的八度等价是等价关系 (自反，对称，传递)，其等价类又称 音符类 (Pitch Classes) ，用不带下标的音符表示。例如在科学音高记号法中，规定 A 4 = 440 H z \mathrm{A}_4 = 440 \,\mathrm{Hz} A 4 = 440 Hz
A = { . . . , 220 H z , 440 H z , . . . } = { 440 × 2 k H z : k ∈ Z } \mathrm{A} = \{..., 220 \,\mathrm{Hz}, 440 \,\mathrm{Hz}, ...\} = \{440 \times 2^{k} \,\mathrm{Hz} : k \in \mathbb Z\} A = { ... , 220 Hz , 440 Hz , ... } = { 440 × 2 k Hz : k ∈ Z } 其中 A 3 = 220 H z \mathrm{A}_3 = 220 \,\mathrm{Hz} A 3 = 220 Hz A 2 = 110 H z \mathrm{A}_2 = 110 \,\mathrm{Hz} A 2 = 110 Hz A 1 = 55 H z \mathrm{A}_1 = 55 \,\mathrm{Hz} A 1 = 55 Hz A 5 = 880 H z \mathrm{A}_5 = 880 \,\mathrm{Hz} A 5 = 880 Hz
明确音符和音符类的区别，有助于我们对后面一些概念的理解。比如和弦是由音符类定义的，而和弦的声位是指从音符类中挑选特定的音符来演奏和弦。
两个音程 八度等价 r 1 ∼ r 2 r_1 \sim r_2 r 1 ∼ r 2 r 2 / r 1 r_2 / r_1 r 2 / r 1 2 2 2 音程类 (Interval Classes) 。容易证明，任何音程类都存在位于 [ 1 , 2 ) [1, 2) [ 1 , 2 ) 在讨论音程/音程类时，若无特殊说明，默认指范围在 [ 1 , 2 ) [1, 2) [ 1 , 2 ) 。所有音程 (尤其是下行音程) 都可以等价到 [ 1 , 2 ) [1, 2) [ 1 , 2 )
可以用对数尺度给数轴标刻度，那么一个音程类内的所有音程等距分布在数轴上，除法算法告诉我们必有音程落在 [ 2 0 , 2 1 ) [2^0, 2^1) [ 2 0 , 2 1 )
距离可以叠加，音程也是如此，定义音程叠加的二元运算
× : R + × R + → R + ( r 1 , r 2 ) ↦ r 1 r 2 \begin{aligned}
\times : \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ &\rightarrow \mathbb{R}^+ \\
(r_1, r_2) &\mapsto r_1r_2
\end{aligned} × : R + × R + ( r 1 , r 2 ) → R + ↦ r 1 r 2 由于 ( R + , × ) (\mathbb{R}^+, \times) ( R + , × ) R + \mathbb{R}^+ R + 1 1 1 音程集合可视作 R + \mathbb{R}^+ R + R + / ⟨ 2 ⟩ \mathbb{R}^+/\langle 2 \rangle R + / ⟨ 2 ⟩ [ 1 , 2 ) [1, 2) [ 1 , 2 ) 。例如
3 2 = { . . . , 3 4 , 3 2 , 3 , 6 , 12 , . . . } ∈ R + / ⟨ 2 ⟩ \frac{3}{2} = \left\{..., \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3, 6, 12, ...\right\} \in \mathbb{R}^+/\langle 2 \rangle 2 3 = { ... , 4 3 , 2 3 , 3 , 6 , 12 , ... } ∈ R + / ⟨ 2 ⟩ The Physics Of Dissonance
对于两个频率不同的正弦波 ，人类的听觉能从有理数频率比中识别出最小公周期模式。有理数比的分子分母越小，对应的李萨如图形 (Lissajous Figure) 越简单，人脑辨识越轻松，越认为音程协和悦耳。最协和的音程是 2 : 1 2:1 2 : 1 3 : 2 3:2 3 : 2 4 : 3 4:3 4 : 3 5 : 4 5:4 5 : 4
如果遍历 [ 1 , 2 ) [1,2) [ 1 , 2 )
可以看到，当频率比从 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0
已经有各种尝试去精确量化图象尖峰 (不适区域) 的具体宽度和高度，但没有完全一致的结论。尖峰出现的有两种解释，一种是基于拍频的物理学，另一种是基于耳蜗构造的生物学。
拍频物理学认为，两个频率几乎相同的正弦波在相长干涉和相消干涉之间交替，导致振幅也在振动。频率越接近，它们失相然后回到同相 (嗡嗡嗡…) 所需的时间越长。频率较远时，虽然不太能听到嗡嗡声，但也让声音更有粗糙感。
耳蜗生物学认为，人耳的分辨率并不完美。耳蜗的几何结构以及其中液体和毛细胞的物理特性，单一频率的外部声音不仅会刺激该频率对应的听觉神经纤维，还会刺激稍高或稍低频率的神经纤维。如果两个正弦波的频率过于相近，人耳就无法准确地把它们区别出两个音。相反，人耳会把它们模糊成单一频率但不和谐的音。一个简单的实验：双耳分别播放频率相近的正弦波，人能准确地分辨出两个音，但当双耳同时播放该频率相近的正弦波，听起来像一个有拍频的、单一的不和谐音高。
这张图并没有我们关心的数值 (比如 2 : 1 2:1 2 : 1 3 : 2 3:2 3 : 2 4 : 3 4:3 4 : 3
事实证明，音乐和声需要的不仅仅是正弦波：和声来自泛音 。
这一点可以通过实验笃定：取 4 : 3 4:3 4 : 3
现在让我们把目光从单一频率的正弦波转到由多频率组成的泛音序列 。对于不和谐的音程，我们体验到的不仅是两个基本正弦波之间的不和谐，还有基本正弦波与另一音符所有泛音之间的不和谐、两个音符所有泛音之间的不和谐
{ f 1 , 2 f 1 , 3 f 1 , . . . } ∪ { f 2 , 2 f 2 , 3 f 2 , . . . } \{f_1, 2f_1, 3f_1, ...\} \cup \{f_2, 2f_2, 3f_2, ...\} { f 1 , 2 f 1 , 3 f 1 , ... } ∪ { f 2 , 2 f 2 , 3 f 2 , ... } 对于一种泛音组合，遍历 [ 1 , 2 ) [1,2) [ 1 , 2 )
1 : 1 2 : ( 1 , 2 ) 3 : ( 2 , 3 ) 4 : ( 2 , 3 , 4 ) 5 : ( 3 , 4 , 5 ) 6 : ( 3 , 4 , 5 , 6 ) ⋮ \begin{aligned}
1 &: 1 \\
2 &: (1,2) \\
3 &: (2,3) \\
4 &: (2,3,4) \\
5 &: (3,4,5) \\
6 &: (3,4,5,6) \\
\vdots
\end{aligned} 1 2 3 4 5 6 ⋮ : 1 : ( 1 , 2 ) : ( 2 , 3 ) : ( 2 , 3 , 4 ) : ( 3 , 4 , 5 ) : ( 3 , 4 , 5 , 6 ) 然后把所有不和谐图都叠加在一起，便得到
现在你能在图中找到简单有理频率比了，它们都是协和的音程。换句话说，落在谷底的音程往往听起来比较和谐。频率比的分子分母越简单，泛音列产生的不和谐音程就越少。比如当第二泛音与另一个音的第一泛音重合时，我们就得到了纯五度：
上面的图都要求两个泛音序列都是谐波序列，即理想弦模型/理想开管模型。如果不是该模型的乐器 (比如钟)，遍历所有泛音组合得到的不和谐图，谷底位置不同，导致西方音乐的重要音程在该乐器上演奏时，听起来并不和谐。
因此需要为具体的乐器指定相应的调音系统，具体问题具体分析。
十二平均律是对纯律不错的近似：
如果考虑三个音之间 (即 和弦 ，内容在后面展开) 的音程关系，不协和图上升到三维，其中底面两个轴分别是中音到根音的频率比、冠(guān)音到根音的频率比。
从顶视图来看，图象有明显的沟壑。每种方向的沟壑代表了和弦中的三个音两两之间的协和音程关系。这些沟壑的汇聚点将诞生悦耳的和弦。比如大/小调和弦及其转位、挂留和弦、增和弦等。
当你身处不和谐的岛屿，突然掉入和谐的谷底，如此大的变化让你的听觉得到了解脱，这种现象叫做和弦的 解决 。
这种思考协和的方式有其局限性，比如它无法解释和弦进行的机理。
我们希望使用有限个音符类完成音乐创作。
音阶 (Scale) ：满足八度封闭的音程类有限序列
S = ( r 1 , r 2 , . . . , r N ) , r k ∈ [ 1 , 2 ) , ∏ k = 1 N r k = 2 \mathcal{S} = (r_1, r_2, ..., r_{N}), \quad r_k \in [1,2), \quad \prod_{k=1}^{N} r_k = 2 S = ( r 1 , r 2 , ... , r N ) , r k ∈ [ 1 , 2 ) , k = 1 ∏ N r k = 2 调式 (Mode) ：二元组 M = ( S , k ) \mathcal{M} = (\mathcal{S},k) M = ( S , k ) k ∈ { 1 , 2 , . . . , N } k \in \{1,2,...,N\} k ∈ { 1 , 2 , ... , N } 语义上，若给定音符类 p 1 p_1 p 1 S \mathcal{S} S p 1 p_1 p 1 N N N
p ( i m o d N ) + 1 = p i ⋅ r i p_{(i \bmod{N}) + 1} = p_i \cdot r_i p ( i mod N ) + 1 = p i ⋅ r i 音符类 p i p_i p i i i i 音级 (Degree) ，用 Ⅰ , Ⅱ , . . . Ⅰ, Ⅱ, ... Ⅰ , Ⅱ , ... M \mathcal{M} M k k k p k p_k p k 主音 (Tonic) (Ⅰ Ⅰ Ⅰ
( p 1 , p 2 , . . . , p N ) ↦ ( p k , p k + 1 , . . . , p N , p 1 , . . . , p k − 1 ) (p_1, p_2, ..., p_N) \mapsto (p_k, p_{k+1}, ..., p_N, p_1, ..., p_{k-1}) ( p 1 , p 2 , ... , p N ) ↦ ( p k , p k + 1 , ... , p N , p 1 , ... , p k − 1 ) 在长期的音乐实践中，各地诞生了多样的音阶和调式。
古希腊早期最核心的乐器是 里拉琴 (Lyre) ，最早的里拉琴有四根弦，它们构成了古希腊乐理的基石 —— 四音列 (Tetrachord) ：在四音列中，从上往下数第 1 根弦 (最低音) 和第 4 根弦 (最高音) 的下行音程是固定的，弦长比为 4 : 3 4:3 4 : 3 (纯)四度 (διά tessárōn, Diatessaron, Perfect Forth) 。纯四度是古希腊音乐的核心。
中间的两根弦可以调整音高，一共有三种音属：
自然音列：4 / 3 = ( 9 / 8 ) 2 ( 256 / 243 ) 4/3=(9/8)^2(256/243) 4/3 = ( 9/8 ) 2 ( 256/243 )
半音音列：4 / 3 = ( 256 / 243 ) ( 2187 / 2048 ) ( 32 / 27 ) 4/3=(256/243)(2187/2048)(32/27) 4/3 = ( 256/243 ) ( 2187/2048 ) ( 32/27 )
四分音列：4 / 3 = ( ? ) ( ? ) ( 81 / 64 ) 4/3=(?)(?)(81/64) 4/3 = ( ?) ( ?) ( 81/64 )
古希腊人思考如何用多个四音列拼接在一起，搭建一个能包含所有调式、所有音域的系统。一共有两种拼接方式：
并合相接：两个四音列之间共用一个音
断续相接：两个四音列之间隔开一个全音
2 个四音列可以断续相接成八音列 ，此时里拉琴一共有八根弦，从第 1 根弦弹到第 8 根弦，形成的音程被称作 (纯)八度 (διά πασῶν，Diapason)
( 4 / 3 ) ( 9 / 8 ) ( 4 / 3 ) = 2 (4/3)(9/8)(4/3)=2 ( 4/3 ) ( 9/8 ) ( 4/3 ) = 2 从第 1 根弦弹到第 5 根弦，就是 (纯)五度 (διά πέντε, Diapente, Perfect Fifth)
( 4 / 3 ) ( 9 / 8 ) = 3 / 2 (4/3)(9/8)=3/2 ( 4/3 ) ( 9/8 ) = 3/2 先将 4 个自然四音列并合相接成 2 个八音列 (7*2)，再断续相接 (14)，然后加上最低的附加音，得到含 15 个音 (两个完整八度) 的 大完整(音)系 (Systema Teleion Meizon) ，里面的每个音用弦位命名。
古希腊音名 字面含义 波爱修斯 圭多 现代音名 Γ \Gamma Γ G 1 \mathrm{G}_1 G 1 Proslambanomenos 附加音 A \mathrm{A} A A \mathrm{A} A A 2 \mathrm{A}_2 A 2 Hypate hypaton 最高四音列的最高弦 B \mathrm{B} B B \mathrm{B} B B 2 \mathrm{B}_2 B 2 Parhypate Hypaton 最高四音列的次高弦 C \mathrm{C} C C \mathrm{C} C C 3 \mathrm{C}_3 C 3 Hypate hypaton 最高四音列的食指弦 D \mathrm{D} D D \mathrm{D} D D 3 \mathrm{D}_3 D 3 Lichanos Hypaton 中四音列的最高弦 E \mathrm{E} E E \mathrm{E} E E 3 \mathrm{E}_3 E 3 Hypate Meson 中四音列的次高弦 F \mathrm{F} F F \mathrm{F} F F 3 \mathrm{F}_3 F 3 Parhypate Meson 中四音列的食指弦 G \mathrm{G} G G \mathrm{G} G G 3 \mathrm{G}_3 G 3 Mese 中弦 H \mathrm{H} H a \mathrm{a} a A 3 \mathrm{A}_3 A 3 Paramese 次中弦 I \mathrm{I} I b \mathrm{b} b B 3 \mathrm{B}_3 B 3 Trite Diezeugmenon 分离四音列的第三弦 K \mathrm{K} K c \mathrm{c} c C 4 \mathrm{C}_4 C 4 Paranete Diezeugmenon 分离四音列的次末弦 L \mathrm{L} L d \mathrm{d} d D 4 \mathrm{D}_4 D 4 Nete Diezeugmenon 分离四音列的最末弦 M \mathrm{M} M e \mathrm{e} e E 4 \mathrm{E}_4 E 4 Trite Hyperbolaion 超额四音列的第三弦 N \mathrm{N} N f \mathrm{f} f F 4 \mathrm{F}_4 F 4 Paranete Hyperbolaion 超额四音列的次末弦 O \mathrm{O} O g \mathrm{g} g G 4 \mathrm{G}_4 G 4 Nete Hyperbolaion 超额四音列的最末弦 P \mathrm{P} P a a \mathrm{aa} aa A 4 \mathrm{A}_4 A 4 b b \mathrm{bb} bb B 4 \mathrm{B}_4 B 4 c c \mathrm{cc} cc C 5 \mathrm{C}_5 C 5 d d \mathrm{dd} dd D 5 \mathrm{D}_5 D 5 e e \mathrm{ee} ee E 5 \mathrm{E}_5 E 5
罗马人征服希腊后，对希腊的文化成果进行了系统性的整理和翻译。波爱修斯 (Boethius，约 480 年 — 524 年) 用古典拉丁字母为希腊的大完整音系中的 15 个音标记
A , B , C , D , E , F , G , H , I , K , L , M , N , O , P \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I},\mathrm{K},\mathrm{L},\mathrm{M},\mathrm{N},\mathrm{O},\mathrm{P} A , B , C , D , E , F , G , H , I , K , L , M , N , O , P 11 世纪的 圭多 (Guido d’Arezzo，约 991–992 年 — 1033 年之后) 认为八度等价，便把标记精简成 7 个字母：高八度使用小写字母，高十五度使用两个相同的小写字母。中世纪的圣咏经常需要唱到比 A \mathrm{A} A A \mathrm{A} A Γ \Gamma Γ
Γ , A , B , C , D , E , F , G , a , b , c , d , e , f , g , a a , b b , c c , d d , e e \Gamma,\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e},\mathrm{f},\mathrm{g},\mathrm{aa},\mathrm{bb},\mathrm{cc},\mathrm{dd},\mathrm{ee} Γ , A , B , C , D , E , F , G , a , b , c , d , e , f , g , aa , bb , cc , dd , ee 定义为整个中世纪的音域 Gamut (音名 Γ \Gamma Γ
在八音列、大完整音系或 Gamut 中，我们发现相邻音的音程构成了
9 8 , 9 8 , 256 243 , 9 8 , 9 8 , 9 8 , 256 243 \frac{9}{8},\frac{9}{8},\frac{256}{243},\frac{9}{8},\frac{9}{8},\frac{9}{8},\frac{256}{243} 8 9 , 8 9 , 243 256 , 8 9 , 8 9 , 8 9 , 243 256 的循环模式，它仅含两种音程，一大一小，并且
9 8 ≈ ( 256 243 ) 2 \frac{9}{8} \approx \Big(\frac{256}{243}\Big)^2 8 9 ≈ ( 243 256 ) 2 于是我们把在八度内相邻音程形如
全音 , 全音 , 半音 , 全音 , 全音 , 全音 , 半音 \text{全音},\text{全音},\text{半音},\text{全音},\text{全音},\text{全音},\text{半音} 全音 , 全音 , 半音 , 全音 , 全音 , 全音 , 半音 的音阶为 自然音阶 (Diatonic Scale) 。
特别注意：并不是说全音 (Whole Tone, Whole Step) 是 9 / 8 9/8 9/8 256 / 243 256/243 256/243 。全音和半音是一种相对大小的模糊概念，没有严格的定义。只要大体满足“全全半全全全半”模式的音阶就可以称作自然音阶，这种音阶在历史上被频繁使用，相关理论的发展程度也比较高。
音程需要使用音高比描述，缺乏大小直观。而在自然音阶中，由于相邻音程只有两种，使用包含全音和半音的个数 来描述音程更为方便。为此，我们需要为音程设计一套命名体系：
使用 度 (Step) 确定大致音程，度数等于音的横跨数 (包括起始音和终止音)：
从 D \mathrm{D} D G \mathrm{G} G
从 d \mathrm{d} d F \mathrm{F} F
从 A \mathrm{A} A a a \mathrm{aa} aa
相同度数的音程不一定大小相等，比如 C \mathrm{C} C E \mathrm{E} E D \mathrm{D} D F \mathrm{F} F 大 (Maj or)、小 (Min or)、增 (Aug mented)、减 (Dim inished) 等前缀名。
C \mathrm{C} C D \mathrm{D} D B \mathrm{B} B C \mathrm{C} C C \mathrm{C} C E \mathrm{E} E D \mathrm{D} D F \mathrm{F} F G \mathrm{G} G c \mathrm{c} c F \mathrm{F} F B \mathrm{B} B C \mathrm{C} C G \mathrm{G} G B \mathrm{B} B f \mathrm{f} f
自然音阶仅含两个半音，我们可以分析每个度数对应可含的全音数和半音数 (由于度数已经确定音名字母的距离，建议只关注半音数 区分大小增减)：
一度：0 全 0 半 (纯)
二度：1 全 0 半 (大)，0 全 1 半 (小)
三度：2 全 0 半 (大)，1 全 1 半 (小)
四度：3 全 0 半 (增)，2 全 1 半 (纯)
五度：3 全 1 半 (纯) ，2 全 2 半 (减)
六度：4 全 1 半 (大)，3 全 2 半 (小)
七度：5 全 1 半 (大)，4 全 2 半 (小)
八度：5 全 2 半 (纯)
根据音程所含的全音数和半音数，可以推出音程的代数关系，比如：
纯五度 − 纯四度 = 大二度 \text{纯五度}-\text{纯四度}=\text{大二度} 纯五度 − 纯四度 = 大二度 纯五度 = 大三度 + 小三度 \text{纯五度}=\text{大三度}+\text{小三度} 纯五度 = 大三度 + 小三度
下面是自然音阶 (白键 ) 中常见的音程，可以形成条件反射以快速反应：
从 C 出发的音程一般以“大 ”冠称：C-C(纯一度)，C-D(大二度)，C-E(大三度)，C-F(纯四度) ，C-G(纯五度) ，C-A(大六度)，C-B(大七度)，C-c(纯八度)
在 c 结束的音程一般以“小 ”冠称：C-c(纯八度)，D-c(小七度)，E-c(小六度)，F-c(纯五度) ，G-c(纯四度) ，A-c(小三度)，B-c(小二度)，C-c(纯一度)
纯五度不从 B 出发 ：C–G，D–A，E–B，F–c，G–d，A–e纯四度不从 F 出发 ：C–F，D–G，E–A，G–c，A–d，B–e大三度不跨半音 EF 和 Bc ：C–E，F–A，G–B大二度不跨半音 EF 和 Bc：C–D，D–E，F–G，G–A，A–B
大六度不同时跨两个半音 EF 和 Bc ：C–A，D–B，F–d，G–e大七度不同时跨两个半音 EF 和 Bc：C–B，F–e
有趣的是，F C G D A E B \mathrm{FCGDAEB} FCGDAEB 五度序列 。
圭多发现，当时欧洲使用的是纽姆谱 (Neumes)：歌词上方用波浪线或点表示旋律，但只能粗略提示旋律的上下起伏，无法精确记录具体音高。因此圭多发明了 四线谱 ，“线”和“间”能精确地表示固定的相对音高。
圭多发现，歌唱者难以记住音名间或谱线间的半音关系。于是他发明了唱名 (Solfège) ：取《圣约翰赞美诗》(Ut queant laxis ) 前 6 句歌词的起始音
(C) Ut queant laxis
(D) Re sonare fibris
(E) Mi ra gestorum
(F) Fa muli tuorum
(G) Sol ve polluti
(A) La bii reatum
得到
U t , R e , M i , F a , S o l , L a \mathcal{Ut}, \mathcal{Re}, \mathcal{Mi}, \mathcal{Fa}, \mathcal{Sol}, \mathcal{La} U t , R e , M i , F a , S o l , L a 规定 M i \mathcal{Mi} M i F a \mathcal{Fa} F a 。为了让歌唱者准确把握半音，圭多在大完整音系中选取了三种六音列供歌唱者练习：
类型 六音列 自然六音列 C , D , E , F , G , a \mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{a} C , D , E , F , G , a 硬六音列 G , a , b , c , d , e \mathrm{G},\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e} G , a , b , c , d , e 软六音列 F , G , a , ♭ , c , d \mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{a},\flat,\mathrm{c},\mathrm{d} F , G , a , ♭ , c , d
圭多发现，在软六音列中接连唱出 F \mathrm{F} F b \mathrm{b} b b \mathrm{b} b
方形 b b b 还原记号 (natural) ♮ \natural ♮ 升记号 (sharp) ♯ \sharp ♯
圆形 b b b b b b 降记号 (flat) ♭ \flat ♭
在 Gamut 中截取不同的八度，我们可以得到 中古调式 (又称教会调式 Church Modes、格里高利调式 Gregorian Modes)，现代常用的 7 种中古调式按色彩排序：
中文 英文 音阶 特征音 色彩 利底亚 Lydian 全全全半全全半 大调 + ♯4 (增四度) 缥缈，梦幻，科幻 伊奥尼亚 Ionian 全全半全全全半 自然大调 明亮，辉煌，稳定 混合利底亚 Mixolydian 全全半全全半全 大调 - ♭7 (小七度) 粗犷，摇摆，蓝调 多利亚 Dorian 全半全全全半全 小调 + ♮6 (大六度) 明亮，空灵，爵士 爱奥利亚 Aeolian 全半全全半全全 自然小调 (♭3, ♭6, ♭7)忧郁，柔和，抒情 弗里吉亚 Phrygian 半全全全半全全 小调 - ♭2 (小二度) 阴暗，沉重，异域 洛克里亚 Locrian 半全全半全全全 小调 - ♭2 和 ♭5 (减五度) 晦暗，紧张，压抑
在 C 大调音阶 (C Ionian) 上按主音排序：
名称 音阶 C Ionian CDEFGAB D Dorian DEFGABC E Phrygian EFGABCD F Lydian FGABCDE G Mixolydian GABCDEF A Aeolian ABCDEFG B Locrian BCDEFGA
在自然大调 (Ionian) 中 ，各音级根据和声功能 (即调式内的稳定性和倾向性) 的命名如下：
音级 功能命名 说明 Ⅰ级 主音 (Tonic) 调式的中心音，和声的终点 Ⅱ级 上主音 (Supertonic) 主音上方二度，多用于过渡或下属功能组 Ⅲ级 中音 (Mediant) 位于主音和属音的正中间，决定大调色彩 Ⅳ级 下属音 (Subdominant) 位于主音下方纯五度 (与属音对称)，有偏离主音的倾向 Ⅴ级 属音 (Dominant) 位于主音上方纯五度，有回到主音的强烈倾向 Ⅵ级 下中音 (Submediant) 位于主音和下属音的正中间，色彩柔和，常作平行替换 Ⅶ级 导音 (Leadingtone) 主音下方小二度，具有强烈的上行倾向引导至主音
我们希望为音阶的结构合理性提供数学解释。
律制 (Tuning System) 是用于制定音阶里的音程关系的系统。不同的律制体现了不同的音乐美学观念，其中 纯律 (Just Intonation) 在数学上较为优美：音阶仅含有理数音程类
Q + / ⟨ 2 ⟩ ≤ R + / ⟨ 2 ⟩ \mathbb{Q}^+/\langle 2 \rangle \leq \mathbb{R}^+/\langle 2 \rangle Q + / ⟨ 2 ⟩ ≤ R + / ⟨ 2 ⟩
乐音的频谱特征也在音乐理论上为有理数提供立足之地：在理想弦/管模型中，只有整数倍基频的波能稳定存在，谐波序列由基频的整数倍组成，任意两个泛音之间的音程必为有理数，并且能覆盖整个正有理数集。
这为毕达哥拉斯学派的“万物皆数 ”观念提供理论依据：整个宇宙都可以用简单的整数比例来解释。然而讽刺的是，毕达哥拉斯音差的发现将成为第一次数学危机发生的征兆。
对于所有 q ∈ Q + q \in \mathbb{Q}^+ q ∈ Q +
q = p 1 α 1 p 2 α 2 . . . p k α k , α 1 , α 2 , . . . , α k ∈ Z q = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}, \quad \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_k \in \mathbb Z q = p 1 α 1 p 2 α 2 ... p k α k , α 1 , α 2 , ... , α k ∈ Z 设
G p = { p 1 α 1 p 2 α 2 . . . p k α k : p 1 , p 2 , . . . , p k ≤ p } / ⟨ 2 ⟩ G_p =\{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k} : p_1, p_2, ..., p_k \leq p\} / \langle 2 \rangle G p = { p 1 α 1 p 2 α 2 ... p k α k : p 1 , p 2 , ... , p k ≤ p } / ⟨ 2 ⟩ 其中 p p p
G p = ⟨ p 1 , p 2 , . . . , p k ⟩ ≤ Q + / ⟨ 2 ⟩ G_p = \langle p_1, p_2, ..., p_k \rangle \leq \mathbb{Q}^+ / \langle 2 \rangle G p = ⟨ p 1 , p 2 , ... , p k ⟩ ≤ Q + / ⟨ 2 ⟩ 如果纯律生成的音程都落在 G p G_p G p p p p p p p 毕达哥拉斯律 (Pythagorean Tuning) 属于 3-极限律，它只使用最协和的 3 : 2 3:2 3 : 2
P = ⟨ 3 2 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ G 3 = ⟨ 2 , 3 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ Q + / ⟨ 2 ⟩ P = \left\langle \frac{3}{2} \right\rangle \Big/ \langle 2 \rangle \leq G_3 = \langle 2, 3 \rangle / \langle 2 \rangle \leq \mathbb{Q}^+ / \langle 2 \rangle P = ⟨ 2 3 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ G 3 = ⟨ 2 , 3 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ Q + / ⟨ 2 ⟩ 生成音阶的算法是：从 1 1 1 [ 1 , 2 ) [1, 2) [ 1 , 2 ) 3 / 2 3/2 3/2 3 / 2 3/2 3/2 五度相生律 。
比如我们可以
32 27 ← ÷ ( 3 / 2 ) 16 9 ← × 2 ÷ ( 3 / 2 ) 4 3 ← × 2 ÷ ( 3 / 2 ) 1 → × ( 3 / 2 ) 3 2 → ÷ 2 × ( 3 / 2 ) 9 8 → × ( 3 / 2 ) 27 16 \frac{32}{27} \xleftarrow[]{\div (3/2)} \frac{16}{9} \xleftarrow[\times 2]{\div (3/2)} \frac{4}{3} \xleftarrow[\times 2]{\div (3/2)} 1 \xrightarrow[]{\times(3/2)} \frac{3}{2} \xrightarrow[\div 2]{\times(3/2)} \frac{9}{8} \xrightarrow[]{\times(3/2)} \frac{27}{16} 27 32 ÷ ( 3/2 ) 9 16 ÷ ( 3/2 ) × 2 3 4 ÷ ( 3/2 ) × 2 1 × ( 3/2 ) 2 3 × ( 3/2 ) ÷ 2 8 9 × ( 3/2 ) 16 27 升序后得到
1 , 9 8 , 32 27 , 4 3 , 3 2 , 27 16 , 16 9 1, \frac{9}{8}, \frac{32}{27}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{27}{16}, \frac{16}{9} 1 , 8 9 , 27 32 , 3 4 , 2 3 , 16 27 , 9 16 相邻音程
9 8 , 256 243 , 9 8 , 9 8 , 9 8 , 256 243 , 9 8 \frac{9}{8}, \frac{256}{243}, \frac{9}{8}, \frac{9}{8}, \frac{9}{8}, \frac{256}{243}, \frac{9}{8} 8 9 , 243 256 , 8 9 , 8 9 , 8 9 , 243 256 , 8 9 如果把它看成自然音阶，那么它是 Dorian 调式 (全半全全全半全)，比如 D Dorian 调式
F ← C ← G ← D → A → E → B \mathrm{F} \leftarrow \mathrm{C} \leftarrow \mathrm{G} \leftarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{B} F ← C ← G ← D → A → E → B D , E , F , G , A , B , C \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} D , E , F , G , A , B , C 再比如 C Ionian 调式 (全全半全全全半)
4 3 ← × 2 ÷ ( 3 / 2 ) 1 → × ( 3 / 2 ) 3 2 → ÷ 2 × ( 3 / 2 ) 9 8 → × ( 3 / 2 ) 27 16 → ÷ 2 × ( 3 / 2 ) 81 64 → × ( 3 / 2 ) 243 128 \frac{4}{3} \xleftarrow[\times 2]{\div (3/2)} 1 \xrightarrow[]{\times(3/2)} \frac{3}{2} \xrightarrow[\div 2]{\times(3/2)} \frac{9}{8} \xrightarrow[]{\times(3/2)} \frac{27}{16} \xrightarrow[\div 2]{\times(3/2)} \frac{81}{64} \xrightarrow[]{\times(3/2)} \frac{243}{128} 3 4 ÷ ( 3/2 ) × 2 1 × ( 3/2 ) 2 3 × ( 3/2 ) ÷ 2 8 9 × ( 3/2 ) 16 27 × ( 3/2 ) ÷ 2 64 81 × ( 3/2 ) 128 243 F ← C → G → D → A → E → B \mathrm{F} \leftarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{B} F ← C → G → D → A → E → B C , D , E , F , G , A , B \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B} C , D , E , F , G , A , B 相邻音程
9 8 , 9 8 , 256 243 , 9 8 , 9 8 , 9 8 , 256 243 \frac{9}{8}, \frac{9}{8}, \frac{256}{243}, \frac{9}{8}, \frac{9}{8}, \frac{9}{8}, \frac{256}{243} 8 9 , 8 9 , 243 256 , 8 9 , 8 9 , 8 9 , 243 256 音乐家们非常希望这种五度相生的过程在最终形成环 。这在数学上相当于：选取合适的步数 n n n m m m
( 3 2 ) n = 2 m \Big(\frac{3}{2}\Big)^n = 2^m ( 2 3 ) n = 2 m 这等价于使用有理数表示
log 2 3 2 = m n \log_{2} \frac{3}{2} = \frac{m}{n} log 2 2 3 = n m 遗憾的是，这是不可能的：log 2 ( 3 / 2 ) \log_{2}(3/2) log 2 ( 3/2 )
3 n = 2 m + n 3^n = 2^{m+n} 3 n = 2 m + n 也被算术基本定理彻底否定。
在后面我们将发现：在一架遵从五度相生律的钢琴上任意转调，需要无数个黑键。这不仅仅是数学的理论问题，而是乐器设计上实际存在的严肃问题。
我们只能尝试对 log 2 ( 3 / 2 ) ≈ 0.5849625007 \log_{2}(3/2) \approx 0.5849625007 log 2 ( 3/2 ) ≈ 0.5849625007
m n = 7 12 , 24 41 , . . . \frac{m}{\boldsymbol{n}} = \frac{7}{\mathbf{12}}, \frac{24}{\mathbf{41}}, ... n m = 12 7 , 41 24 , ... 在 n = 12 n=12 n = 12
( 3 / 2 ) 12 2 7 = 531441 524288 ≈ 1.01364 ≈ 23.46 音分 \frac{(3/2)^{12}}{2^7} = \frac{531441}{524288} \approx 1.01364 \approx 23.46 \,\text{音分} 2 7 ( 3/2 ) 12 = 524288 531441 ≈ 1.01364 ≈ 23.46 音分 被称作 毕达哥拉斯音差 (Pythagorean Comma) ，这导致五度相生的过程是无限螺旋状的：
. . . B 𝄫 , F ♭ , C ♭ , G ♭ , D ♭ , A ♭ , E ♭ , B ♭ , F , C , G , D , A , E , B , F ♯ , C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , E ♯ , B ♯ , F 𝄪 . . . ...\mathrm{B}𝄫,\mathrm{F}\flat,\mathrm{C}\flat,\mathrm{G}\flat,\mathrm{D}\flat,\mathrm{A}\flat,\mathrm{E}\flat,\mathrm{B}\flat,\mathrm{F},\mathrm{C},\mathrm{G},\mathrm{D},\mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{B},\mathrm{F}\sharp,\mathrm{C}\sharp,\mathrm{G}\sharp,\mathrm{D}\sharp,\mathrm{A}\sharp,\mathrm{E}\sharp,\mathrm{B}\sharp,\mathrm{F}𝄪... ... B 𝄫 , F ♭ , C ♭ , G ♭ , D ♭ , A ♭ , E ♭ , B ♭ , F , C , G , D , A , E , B , F ♯ , C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , E ♯ , B ♯ , F 𝄪...
为什么 F , C , G , D , A , E , B \mathrm{F},\mathrm{C},\mathrm{G},\mathrm{D},\mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{B} F , C , G , D , A , E , B F ♯ \mathrm{F}\sharp F ♯ 只使用字母 A \mathrm{A} A G \mathrm{G} G 。先推出音名 B \mathrm{B} B F \mathrm{F} F B \mathrm{B} B F \mathrm{F} F B \mathrm{B} B F \mathrm{F} F F ♯ \mathrm{F}\sharp F ♯
而这就带来了一个问题：12 次向上或向下五度相生后得到的音与起始音十分接近，但又不能等同，形成的微小音程极不协和：
F ≈ F 𝄪 , E ♭ ≈ D ♯ , . . . \mathrm{F} \approx \mathrm{F}𝄪, \quad \mathrm{E}\flat \approx \mathrm{D}\sharp, \quad ... F ≈ F 𝄪 , E ♭ ≈ D ♯ , ... 因此五度相生往往在第 12 次前就停止了，通常取
E ♭ , B ♭ , F , C , G , D , A , E , B , F ♯ , C ♯ , G ♯ \mathrm{E}\flat,\mathrm{B}\flat,\mathrm{F},\mathrm{C},\mathrm{G},\mathrm{D},\mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{B},\mathrm{F}\sharp,\mathrm{C}\sharp,\mathrm{G}\sharp E ♭ , B ♭ , F , C , G , D , A , E , B , F ♯ , C ♯ , G ♯ 这便是钢琴上八度内的 7 个白键和 5 个黑键。
只使用素数 2 2 2 3 3 3 3 / 2 3/2 3/2
大六度 = 27 16 = ( 3 2 ) 3 ÷ 2 \text{大六度} = \frac{27}{16} = \Big(\frac{3}{2}\Big)^3 \div 2 大六度 = 16 27 = ( 2 3 ) 3 ÷ 2 大三度 = 81 64 = ( 3 2 ) 4 ÷ 4 \text{大三度} = \frac{81}{64} = \Big(\frac{3}{2}\Big)^4 \div 4 大三度 = 64 81 = ( 2 3 ) 4 ÷ 4 大七度 = 243 128 = ( 3 2 ) 5 ÷ 4 \text{大七度} = \frac{243}{128} = \Big(\frac{3}{2}\Big)^5 \div 4 大七度 = 128 243 = ( 2 3 ) 5 ÷ 4 分子分母较大，听感不够协和。离它们近的协和音程(简单整数比)的音差
27 16 ÷ 5 3 = 81 80 = 1.0125 ≈ 21.51 音分 \frac{27}{16}\div\frac{5}{3} = \frac{81}{80} = 1.0125 \approx 21.51 \,\text{音分} 16 27 ÷ 3 5 = 80 81 = 1.0125 ≈ 21.51 音分 81 64 ÷ 5 4 = 81 80 = 1.0125 ≈ 21.51 音分 \frac{81}{64}\div\frac{5}{4} = \frac{81}{80} = 1.0125 \approx 21.51 \,\text{音分} 64 81 ÷ 4 5 = 80 81 = 1.0125 ≈ 21.51 音分 243 128 ÷ 15 8 = 81 80 = 1.0125 ≈ 21.51 音分 \frac{243}{128}\div\frac{15}{8} = \frac{81}{80} = 1.0125 \approx 21.51 \,\text{音分} 128 243 ÷ 8 15 = 80 81 = 1.0125 ≈ 21.51 音分 被称作 谐音差 (Syntonic Comma) ，一定程度上代表不协和的程度。
听觉对简单整数比的偏好，促使音乐家们把素数 5 5 5 5 5 5 5 / 4 5/4 5/4 纯律自然大调音阶 (Just Ionian)
J I = ⟨ 3 2 , 5 4 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ G 5 = ⟨ 2 , 3 , 5 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ J_I = \left\langle \frac{3}{2},\frac{5}{4} \right\rangle \Big/ \langle 2 \rangle \leq G_5 = \langle 2,3,5 \rangle / \langle 2 \rangle J I = ⟨ 2 3 , 4 5 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ G 5 = ⟨ 2 , 3 , 5 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ 典型的生成路径是：
Ⅰ = 1 Ⅴ = Ⅰ + 纯五度 Ⅳ = Ⅰ − 纯五度 Ⅲ = Ⅰ + 大三度 Ⅵ = Ⅳ + 大三度 Ⅱ = Ⅴ + 纯五度 Ⅶ = Ⅴ + 大三度 \begin{aligned}
Ⅰ &= 1 \\
Ⅴ &= Ⅰ+\text{纯五度} \\
Ⅳ &= Ⅰ-\text{纯五度} \\
Ⅲ &= Ⅰ+\text{大三度} \\
Ⅵ &= Ⅳ+\text{大三度} \\
Ⅱ &= Ⅴ+\text{纯五度} \\
Ⅶ &= Ⅴ+\text{大三度} \\
\end{aligned} Ⅰ Ⅴ Ⅳ Ⅲ Ⅵ Ⅱ Ⅶ = 1 = Ⅰ + 纯五度 = Ⅰ − 纯五度 = Ⅰ + 大三度 = Ⅳ + 大三度 = Ⅴ + 纯五度 = Ⅴ + 大三度 得到
1 , 9 8 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 5 3 , 15 8 1,\frac{9}{8},\frac{5}{4},\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{15}{8} 1 , 8 9 , 4 5 , 3 4 , 2 3 , 3 5 , 8 15 相邻音程
9 8 , 10 9 , 16 15 , 9 8 , 10 9 , 9 8 , 16 15 \frac{9}{8},\frac{10}{9},\frac{16}{15},\frac{9}{8},\frac{10}{9},\frac{9}{8},\frac{16}{15} 8 9 , 9 10 , 15 16 , 8 9 , 9 10 , 8 9 , 15 16 音阶仍然遵循“全全半全全全半”的模糊模式，出现了大全音 (Major Tone) 9 / 8 9/8 9/8 小全音 (Minor Tone) 10 / 9 10/9 10/9 16 / 15 16/15 16/15 大半音 (Major Semitone) 。大小全音之比
9 8 ÷ 10 9 = 81 80 ≈ 21.5 音分 \frac{9}{8} \div \frac{10}{9} = \frac{81}{80} \approx 21.5 \,\text{音分} 8 9 ÷ 9 10 = 80 81 ≈ 21.5 音分 被称作 普通音差 (Syntonic Comma) 。
在纯律大调音阶中，主音上的三度、六度极纯，但强扭的瓜不甜：这种局部协和是以其他地方的五度瑕疵为代价的。比如从 Ⅱ 到 Ⅵ 的纯五度
5 3 ÷ 9 8 = 40 27 ≠ 3 2 \frac{5}{3} \div \frac{9}{8} = \frac{40}{27} \ne \frac{3}{2} 3 5 ÷ 8 9 = 27 40 = 2 3 该五度比纯五度窄一个普通音差 (约 21.5 21.5 21.5 狼音程 (Wolf Interval) 。纯律因此很难自由转调——每次转到不同主音，音阶内部的比例都需要重新调整，否则就会出现刺耳的音程。
我们也可以让 6 / 5 6/5 6/5 纯律自然小调音阶 (Just Aeolian)
J A = ⟨ 3 2 , 6 5 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ G 5 = ⟨ 2 , 3 , 5 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ J_A = \left\langle \frac{3}{2},\frac{6}{5} \right\rangle \Big/ \langle 2 \rangle \leq G_5 = \langle 2,3,5 \rangle / \langle 2 \rangle J A = ⟨ 2 3 , 5 6 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ G 5 = ⟨ 2 , 3 , 5 ⟩ / ⟨ 2 ⟩ 典型的生成路径：
Ⅰ = 1 Ⅴ = Ⅰ + 纯五度 Ⅳ = Ⅰ − 纯五度 ♭ Ⅲ = Ⅰ + 小三度 ♭ Ⅵ = Ⅳ + 小三度 Ⅱ = Ⅴ + 纯五度 ♭ Ⅶ = Ⅴ + 小三度 \begin{aligned}
Ⅰ &= 1 \\
Ⅴ &= Ⅰ+\text{纯五度} \\
Ⅳ &= Ⅰ-\text{纯五度} \\
\flat Ⅲ &= Ⅰ+\text{小三度} \\
\flat Ⅵ &= Ⅳ+\text{小三度} \\
Ⅱ &= Ⅴ+\text{纯五度} \\
\flat Ⅶ &= Ⅴ+\text{小三度} \\
\end{aligned} Ⅰ Ⅴ Ⅳ ♭Ⅲ ♭Ⅵ Ⅱ ♭Ⅶ = 1 = Ⅰ + 纯五度 = Ⅰ − 纯五度 = Ⅰ + 小三度 = Ⅳ + 小三度 = Ⅴ + 纯五度 = Ⅴ + 小三度 得到
1 , 9 8 , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 8 5 , 9 5 1,\frac{9}{8},\frac{6}{5},\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{8}{5},\frac{9}{5} 1 , 8 9 , 5 6 , 3 4 , 2 3 , 5 8 , 5 9 相邻音程
9 8 , 16 15 , 10 9 , 9 8 , 16 15 , 9 8 , 10 9 \frac{9}{8},\frac{16}{15},\frac{10}{9},\frac{9}{8},\frac{16}{15},\frac{9}{8},\frac{10}{9} 8 9 , 15 16 , 9 10 , 8 9 , 15 16 , 8 9 , 9 10 平均律# 全音的大小之分直接导致了狼音程的产生，根本原因在于多个生成元同时存在。中庸全音律 (Meantone Temperament) 向平均律作出第一次妥协：企图沿用五度相生，在统一全音的同时，把纯五度 3 / 2 3/2 3/2 τ \tau τ
τ 4 = 5 4 \tau^4=\frac{5}{4} τ 4 = 4 5 模八度意义下
τ = 5 4 ≈ 1.49535 ≈ 696.578 音分 \tau = \sqrt[4]{5} \approx 1.49535 \approx 696.578 \,\text{音分} τ = 4 5 ≈ 1.49535 ≈ 696.578 音分 3 / 2 ≈ 701.9550 音分 3/2 \approx 701.9550\,\text{音分} 3/2 ≈ 701.9550 音分 比纯五度大约窄了 1 / 4 1/4 1/4 四分之一音差中庸全音律 (1/4-comma Meantone)
M = ⟨ τ ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ R + / ⟨ 2 ⟩ M = \langle \tau \rangle / \langle 2 \rangle \leq \mathbb{R}^+/\langle 2 \rangle M = ⟨ τ ⟩ / ⟨ 2 ⟩ ≤ R + / ⟨ 2 ⟩ 这时再进行五度相生 (以自然大调为例)：
2 τ ← × 2 ÷ τ 1 → × τ τ → ÷ 2 × τ τ 2 2 → × τ τ 3 2 → ÷ 2 × τ 5 4 → × τ 5 τ 4 \frac{2}{\tau} \xleftarrow[\times 2]{\div \tau} 1 \xrightarrow[]{\times\tau} \tau \xrightarrow[\div 2]{\times\tau} \frac{\tau^2}{2} \xrightarrow[]{\times\tau} \frac{\tau^3}{2} \xrightarrow[\div 2]{\times\tau} \frac{5}{4} \xrightarrow[]{\times\tau} \frac{5\tau}{4} τ 2 ÷ τ × 2 1 × τ τ × τ ÷ 2 2 τ 2 × τ 2 τ 3 × τ ÷ 2 4 5 × τ 4 5 τ Ⅳ ← Ⅰ → Ⅴ → Ⅱ → Ⅵ → Ⅲ → Ⅶ Ⅳ \leftarrow Ⅰ \rightarrow Ⅴ \rightarrow Ⅱ \rightarrow Ⅵ \rightarrow Ⅲ \rightarrow Ⅶ Ⅳ ← Ⅰ → Ⅴ → Ⅱ → Ⅵ → Ⅲ → Ⅶ 相邻音程满足“全全半全全全半”的模式，全音处在大小全音之间，故得名中庸。并且相比毕达哥拉斯律中的大三度，中庸全音律的纯五度的谐音差较小，听觉可以接受。收益是纯净的大三度。
从 16 世纪到 18 世纪，中庸全音律是欧洲键盘乐器 (管风琴、羽管键琴) 的主流调律法。
未完待续…
